隋唐大运河各段开凿的先后顺序如下：
广通渠：公元584年开凿。这是隋唐大运河开凿的首段，为运河的修建奠定了基础。
山阳渎（邗沟）：公元587年开凿。沿用了春秋时期吴王夫差开业的邗沟旧道，打通了南起江都，北至山阳（今江苏淮安）的河道，是连接长江与淮河的重要水道。
通济渠：公元605年开凿。这是大运河中最为重要的一段，分东西两段，西段自今洛阳西郊引洛河和谷水入黄河，东段自荥阳汜水，引黄河后，循汴水（原淮河支流），经商丘、宿县、泗县入淮河，极大地促进了南北交通。
永济渠：公元608年开凿。利用沁河、淇水、卫河水源，引水通航至天津，继溯永定河通涿郡（今北京），进一步扩大了大运河的覆盖范围。
江南河：公元610年开凿。开通了扬州、镇江至杭州段，长400公里，使得从首都洛阳到江都、再到浙江杭州的1700公里河道可以直通船舶，畅行无阻。
综上所述，隋唐大运河各段的开凿顺序为广通渠、山阳渎（邗沟）、通济渠、永济渠和江南河。这一顺序的完成，标志着隋唐大运河的全面贯通，为中国的经济、文化交流和发展做出了巨大贡献。
